第二十二章 二次函数
福利：2024年毕业的初中生、高中生及准备考研的同学，可以免费获取学科资源网部分学习资源（网址https://www.yingyanwk.com）。
第一节 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质
二次函数是一种常见的数学函数形式，它的图象呈现出特定的形状和性质。在本节中，我们将讨论两种不同形式的二次函数，即y=ax2和y=ax2+c，并比较它们的图象和性质。
首先，我们来看y=ax2这种形式的二次函数。这个函数的图象是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。另外，a的绝对值越大，抛物线的开口越窄，曲线越陡峭；a的绝对值越小，抛物线的开口越宽，曲线越平缓。这个函数的顶点坐标为(0,0)，是抛物线的最低点或最高点。
接下来，我们来看y=ax2+c这种形式的二次函数。这个函数的图象也是一个抛物线，但与y=ax2相比，它在y轴上有一个平移，即抛物线的顶点不再位于原点。顶点的纵坐标为c，横坐标仍为0，所以顶点的坐标为(0,c)。这个函数的平移不会改变抛物线的开口方向和形状，只是改变了抛物线的位置。
除了顶点的位置不同，y=ax2和y=ax2+c的图象还有一个重要的区别。y=ax2的图象关于x轴对称，即抛物线在x轴上是对称的；而y=ax2+c的图象则没有这种对称性，抛物线在x轴上不对称。
综上所述，y=ax2和y=ax2+c的图象和性质有一些不同之处。它们都是抛物线，但y=ax2+c的图象在y轴上有一个平移，并且不具有关于x轴的对称性。这些性质对于理解和分析二次函数的图象和行为非常重要。
【学习目标】
掌握二次函数的定义，并能够使用待定系数法来确定二次函数的解析式。
我们可以使用描点法来画出二次函数y=ax^2 (a≠0)的图象。描点法是通过选择一些x的值，计算对应的y值，然后将这些点连接起来，形成抛物线的图象。
首先，我们选择一些x的值，例如-2，-1，0，1，2。然后，根据函数y=ax^2的公式，计算对应的y值。假设a=1，我们可以得到以下结果：
x=-2，y=4
x=-1，y=1
x=0，y=0
x=1，y=1
x=2，y=4
接下来，我们将这些点连接起来，就可以得到一个抛物线的图象。这个图象是关于y轴对称的，因为当x取正值和负值时，对应的y值是相等的。这个对称轴就是y轴。
抛物线的顶点是图象的最高点或最低点。在这个例子中，顶点是(0,0)。顶点是抛物线的最低点，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
通过这个例子，我们可以理解抛物线、对称轴、顶点和开口方向的概念。抛物线是一种特殊的曲线，具有对称性。对称轴是抛物线的对称轴线，通过抛物线的顶点，并将抛物线分为两个对称的部分。顶点是抛物线的最高点或最低点。开口方向表示抛物线的形状，向上开口表示a>0，向下开口表示a<0。
熟悉二次函数y=ax2(a≠0)的图像特性，并了解二次函数与y=ax2的关系（上加下减）。
【要点梳理】
一、二次函数是指形式为f(x)=ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状。
二、二次函数的图像可以分为三种情况：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下；当a等于0时，函数退化为一次函数。
三、二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，可以通过求导或利用顶点公式来确定。
四、二次函数的零点是函数与x轴相交的点，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c=0来求得。
五、二次函数的对称轴是通过抛物线顶点的垂直线，可以通过利用对称性质来求得。
六、二次函数的平移、缩放和翻转等变换可以通过改变a、b、c的值来实现。
七、二次函数在数学和物理等领域中有广泛的应用，例如描述物体的运动轨迹、解决最优化问题等。
1.二次函数的概念
通常情况下，具有形式y=ax2+bx+c（其中a≠0，a, b, c为常数）的函数被称为二次函数。
如果b=0，则y=ax^2+c；如果c=0，则y=ax^2+bx；如果b=c=0，则y=ax^2。
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax^2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式。
这三种特殊形式分别是顶点形式、描点形式和因式分解形式。顶点形式是通过平移和缩放二次函数的顶点得到的，可以直接读出顶点坐标。描点形式是通过给定的两个点坐标求解二次函数的系数得到的，可以直接读出系数。因式分解形式是通过将二次函数进行因式分解得到的，可以直接读出因式。
而一般式y=ax^2+bx+c是二次函数的标准形式，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。这种形式可以直接读出二次函数的系数，方便进行计算和分析。
总之，以上三种特殊形式和一般式都是描述二次函数的不同方式，根据具体的问题和需求，可以选择适合的形式来表示二次函数。
要点诠释：
当a≠0时，函数y=ax^2+bx+c是x的二次函数。当a=0时，函数不再是二次函数，但b和c可以分别为零，也可以同时都为零。
当a的绝对值越大时，抛物线的开口越小。具体来说，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数是一种形式为f(x)=ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于0。二次函数的解析式可以有多种表示方法。
一种常见的表示方法是标准形式，即f(x)=ax^2 + bx + c。在标准形式中，a表示二次项的系数，b表示一次项的系数，c表示常数项。
另一种表示方法是顶点形式，即f(x)=a(x - h)^2 + k。在顶点形式中，a表示二次项的系数，(h, k)表示二次函数的顶点坐标。
还有一种表示方法是因式分解形式，即f(x)=a(x - r1)(x - r2)。在因式分解形式中，a表示二次项的系数，r1和r2表示二次函数的两个根。
这些表示方法可以相互转换，根据具体的问题和需要选择合适的形式来表示二次函数的解析式。
1. 一般式：
2. 顶点式：
3. 交点式：（抛物线与x轴交点的横坐标）（或称根式）。
要点诠释：
所有二次函数的解析式都可以转化为一般式或顶点式，但并非所有二次函数都可以写成交点式。只有抛物线与坐标轴有交点时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。这三种形式的二次函数解析式可以相互转化。
要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一个开口朝上或朝下的抛物线。当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
二次函数的性质包括：
1. 对称性：二次函数的图象关于直线x=-b/2a对称。
2. 零点：二次函数的零点是使得函数值等于零的x值。零点可以通过解二次方程ax2+bx+c=0来求得。
3. 最值：当a>0时，二次函数的最小值为0，当x=-b/2a时取得；当a<0时，二次函数的最大值为0，当x=-b/2a时取得。
4. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负确定。当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
5. 函数增减性：当a>0时，二次函数在抛物线开口的两侧是递增的；当a<0时，二次函数在抛物线开口的两侧是递减的。
6. 零点个数：二次函数的零点个数最多为2个。
以上是二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质的要点。
1.二次函数y=ax^2(a≠0)的图像
根据给定内容重新进行创作：
通过描点法可以绘制出二次函数y=ax^2（a≠0）的图像，这条曲线是关于y轴对称的，被称为抛物线。抛物线的形状取决于a的值，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。通过选择不同的a值，我们可以得到不同形状的抛物线。
由于抛物线y=x^2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。从图上看，抛物线y=x^2的顶点是图像的最低点。由于抛物线y=x^2有最低点，所以函数y=x^2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。
绘制二次函数y=ax^2(a≠0)的图像可以按照以下步骤进行：
1. 确定坐标轴：在纸上画出一个坐标系，包括x轴和y轴。
2. 确定顶点：二次函数的顶点是图像的最高点或最低点。顶点的x坐标可以通过计算x=-b/(2a)得到，其中b是二次项的系数。将这个x坐标代入二次函数的表达式中，计算出对应的y坐标。
3. 确定对称轴：对称轴是通过顶点的垂直线。在坐标系上画出这条垂直线。
4. 确定焦点和直线：焦点是二次函数图像的曲线与对称轴的交点。焦点的坐标可以通过计算x=-b/(2a)得到，其中b是二次项的系数。将这个x坐标代入二次函数的表达式中，计算出对应的y坐标。然后在坐标系上画出这个点。
5. 确定开口方向：根据二次项的系数a的正负来确定二次函数图像的开口方向。如果a>0，则图像开口向上；如果a<0，则图像开口向下。
6. 确定图像的形状：根据顶点和开口方向，可以确定二次函数图像的形状。如果开口向上，则图像是一个向上凸起的抛物线；如果开口向下，则图像是一个向下凹陷的抛物线。
7. 绘制图像：根据确定的顶点、对称轴、焦点和图像形状，可以在坐标系上绘制出二次函数的图像。
通过以上步骤，我们可以绘制出二次函数y=ax^2(a≠0)的图像。
当我们用描点法画二次函数y=ax^2（a≠0）的图象时，我们需要在顶点的左右两侧对称地选取自变量x的值。通过计算这些选取值对应的y值，我们可以得到一系列的点。如果我们选取的点越密集，那么描绘出的图象就会越准确。因为二次函数的图象是一个抛物线，通过更多的点可以更好地描述它的形状和曲线。因此，在描点法中，我们应该尽可能地选取更多的点来描绘二次函数的图象，以获得更准确的结果。
要点诠释：
二次函数y=ax^2 (a≠0)的图象可以通过描点法绘制。首先，我们知道二次函数的图象是轴对称的，对称轴是y轴。
为了绘制图象，我们可以选择一些x值，计算对应的y值，然后将这些点连接起来。为了简化计算，我们可以选择x的值为-2，-1，0，1，2。
对于每个x值，我们可以使用函数y=ax^2来计算对应的y值。例如，当x=-2时，y=a(-2)^2=4a。同样地，当x=-1时，y=a(-1)^2=a，当x=0时，y=a(0)^2=0，当x=1时，y=a(1)^2=a，当x=2时，y=a(2)^2=4a。
现在我们有了一些点的坐标，(-2, 4a)，(-1, a)，(0, 0)，(1, a)，(2, 4a)。我们可以将这些点连接起来，得到二次函数y=ax^2的图象。
接下来，我们可以考虑将图象左右、上下平行移动，得到函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象。这可以通过改变函数中的常数b和c来实现。
例如，如果我们想将图象向右平行移动2个单位，我们可以将函数改为y=a(x-2)^2。同样地，如果我们想将图象向上平行移动3个单位，我们可以将函数改为y=a(x-2)^2+3。
通过改变常数b和c，我们可以得到不同位置的二次函数图象。这些图象仍然是轴对称的，对称轴仍然是y轴。
在进行草图绘制时，我们需要注意以下几个要点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点。
首先，要确定开口方向。开口方向指的是图形的凹凸方向，即图形向上凸起还是向下凹陷。
其次，要找到对称轴。对称轴是指图形中存在的一条直线，使得图形关于该直线对称。通过找到对称轴，我们可以更好地理解图形的对称性。
然后，要确定顶点。顶点是图形的最高点或最低点，也是图形的转折点。通过确定顶点，我们可以更准确地绘制图形的形状。
接下来，要找到与轴的交点。与轴的交点是指图形与对称轴相交的点。通过找到与轴的交点，我们可以更好地了解图形与对称轴的关系。
最后，要找到与轴的交点。与轴的交点是指图形与对称轴相交的点。通过找到与轴的交点，我们可以更好地了解图形与对称轴的关系。
总之，在进行草图绘制时，抓住以上几点可以帮助我们更准确地描绘图形的形状和特征。
二次函数y=ax^2(a≠0)的图象具有以下性质：
1. 对称性：二次函数的图象关于直线x=0对称，即左右对称。
2. 开口方向：当a>0时，二次函数的图象开口向上；当a<0时，二次函数的图象开口向下。
3. 零点：二次函数的零点是指函数图象与x轴相交的点，即满足y=0的x值。对于二次函数y=ax^2(a≠0)，其零点可以通过解方程ax^2=0得到。当a≠0时，零点只有一个，即x=0。
4. 最值：当a>0时，二次函数的最小值为0，即y=0；当a<0时，二次函数的最大值为0，即y=0。
5. 开口程度：二次函数的开口程度由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越宽；绝对值越小，开口越窄。
6. 导数：二次函数的导数是一次函数，即y'=2ax。导数的正负性与二次函数的开口方向相对应。
综上所述，二次函数y=ax^2(a≠0)的图象具有对称性、开口方向、零点、最值、开口程度和导数等性质。
二次函数y=ax^2（a≠0）图象的性质如下所示：
1. 对称性：二次函数的图象关于直线x=0对称，即图象在该直线上对称。
2. 开口方向：当a>0时，二次函数的图象开口向上；当a<0时，二次函数的图象开口向下。
3. 最值：当a>0时，二次函数的最小值为0，即图象的最低点为原点；当a<0时，二次函数的最大值为0，即图象的最高点为原点。
4. 零点：二次函数的零点是指函数取值为0的点。对于二次函数y=ax^2，其零点可以通过解方程ax^2=0得到。当a≠0时，零点只有一个，即x=0。
5. 单调性：当a>0时，二次函数在x轴的左侧单调递减，在x轴的右侧单调递增；当a<0时，二次函数在x轴的左侧单调递增，在x轴的右侧单调递减。
6. 函数值：二次函数的函数值随着自变量的增大而增大（当a>0时），或随着自变量的增大而减小（当a<0）。
综上所述，二次函数y=ax^2（a≠0）的图象具有对称性、开口方向、最值、零点、单调性和函数值等性质。
函数的图象可以有不同的形状，其中一个重要的特征是开口方向。开口方向可以是向上或向下。顶点坐标是图象的最高点或最低点的坐标。对称轴是图象的中心轴，对称轴将图象分为两部分，两部分关于对称轴对称。函数的变化是指函数在定义域内的增减情况。最大（小）值是函数在定义域内的最大值或最小值。
根据给定内容，重新进行创作：
函数的图象可以有不同的形状，其中一个重要的特征是开口方向。开口方向可以是向上或向下。顶点坐标是图象的最高点或最低点的坐标。对称轴是图象的中心轴，对称轴将图象分为两部分，两部分关于对称轴对称。函数的变化是指函数在定义域内的增减情况。最大（小）值是函数在定义域内的最大值或最小值。
当给定一个正数a时，函数y=ax^2是一个向上开口的抛物线。抛物线的顶点位于坐标原点(0,0)，并且抛物线在y轴上与x轴相交于原点。
当x大于0时，随着x的增大，y也会增大。这意味着抛物线在x轴的右侧是递增的，即随着x的增大，y的值也会增大。
当x小于0时，y随着x的增大而减小。当x等于0时，y的最小值为0。
当a<0时，函数y=ax^2是一个向下开口的抛物线，抛物线的顶点位于坐标原点(0,0)。在x>0的区间内，随着x的增大，y的值会逐渐减小。
当x小于0时，y随着x的增大而增大。当x等于0时，y的最大值为0。
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置。对于不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向和大小完全相同，只是顶点的位置不同。绝对值│a│相同，抛物线的开口大小和形状相同。绝对值│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴；绝对值│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴。
要点三、二次函数y=ax^2+c(a≠0)的图象及性质
二次函数y=ax^2+c(a≠0)是一种常见的函数形式，它的图象是一个抛物线。抛物线的开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
除了开口方向，二次函数还有其他一些性质。首先，抛物线的顶点是函数的最值点，当a>0时，顶点是函数的最小值点；当a<0时，顶点是函数的最大值点。其次，抛物线与x轴的交点称为函数的零点或根，可以通过求解二次方程ax^2+c=0来得到。如果二次方程有两个不相等的实根，那么抛物线与x轴有两个交点；如果二次方程有两个相等的实根，那么抛物线与x轴有一个交点；如果二次方程没有实根，那么抛物线与x轴没有交点。
另外，二次函数的对称轴是通过抛物线顶点的垂直线。对称轴将抛物线分成两个对称的部分，两个部分的形状相同但关于对称轴对称。对称轴的方程可以通过将二次函数的x用t表示，然后将二次函数转化为标准形式y=a(t-h)^2+k，其中(h,k)是顶点的坐标，对称轴的方程为x=h。
综上所述，二次函数y=ax^2+c(a≠0)的图象是一个抛物线，其性质包括开口方向、顶点、零点和对称轴等。这些性质可以通过函数的表达式来确定，从而帮助我们更好地理解和分析二次函数的特点。
1. The graph of a quadratic function y=ax^2+c (a≠0)
二次函数y=ax^2+c(a≠0)的图象具有以下性质：
1. 对称性：二次函数的图象关于直线x=0对称，即函数图象在该直线左右对称。
2. 开口方向：当a>0时，二次函数的图象开口向上；当a<0时，二次函数的图象开口向下。
3. 零点：二次函数的零点是指函数图象与x轴相交的点。二次函数的零点个数可能为0、1或2个，具体个数取决于判别式Δ=b^2-4ac的值。当Δ>0时，函数有两个不同的实根；当Δ=0时，函数有一个重根；当Δ<0时，函数没有实根。
4. 最值：当a>0时，二次函数的最小值为c，即函数图象的最低点在y轴上方；当a<0时，二次函数的最大值为c，即函数图象的最高点在y轴下方。
5. 单调性：当a>0时，二次函数在开口向上的区间内是上凸函数，即函数图象逐渐上升；当a<0时，二次函数在开口向下的区间内是下凸函数，即函数图象逐渐下降。
这些性质可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的图象。
关于二次函数的性质，我们可以从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面进行研究。下面是对这些性质的归纳：
1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项的系数决定。如果二次项的系数大于0，则抛物线开口向上；如果二次项的系数小于0，则抛物线开口向下。
2. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（当抛物线开口向上）或最高点（当抛物线开口向下）。顶点的横坐标可以通过求解二次函数的一阶导数为0的方程得到，纵坐标则是将横坐标代入二次函数中计算得到。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的一条直线。对称轴的方程可以通过将二次函数的一阶导数为0的方程解出来得到。
4. 函数值的增减性：当抛物线开口向上时，二次函数在顶点左侧递减，在顶点右侧递增；当抛物线开口向下时，二次函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减。
5. 最大值或最小值：当抛物线开口向上时，二次函数的最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口向下时，二次函数的最大值为顶点的纵坐标。
通过对这些性质的研究，我们可以更好地理解和分析二次函数的特点和行为。
二次函数与加减运算之间存在着密切的关系。在二次函数中，加法运算可以用来表示函数图像的上移，而减法运算则可以表示函数图像的下移。
具体来说，对于二次函数y=ax^2 + bx + c，如果我们在函数的常数项c上加上一个正数k，即c + k，那么函数图像将向上平移k个单位。这是因为加上k后，对于任意给定的x值，y的值都会增加k个单位，从而使整个函数图像上移。
相反地，如果我们在常数项c上减去一个正数k，即c - k，那么函数图像将向下平移k个单位。这是因为减去k后，对于任意给定的x值，y的值都会减少k个单位，从而使整个函数图像下移。
总结起来，二次函数与加减运算之间的关系是：加法运算使函数图像上移，减法运算使函数图像下移。这种关系可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的图像特征。
平移一个单位的图像是指将原图像沿着指定的方向移动一个单位的距离。根据给定的内容，我们可以重新表达如下：
将图像向上平移c个单位得到的图像，表示将原图像沿着正方向移动c个单位的距离。
将图像向下平移c个单位得到的图像，表示将原图像沿着负方向移动c个单位的距离。
要点诠释：
抛物线的对称轴是x轴，顶点坐标是(c, 0)，与抛物线的形状相同。
