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关于余数的问题，在数论知识板块中是一个内容丰富、难度较大的知识体系，也是小升初考试必考的数学知识点之一。
余数问题涵盖了带余除法的概念，三大余数定理（加法余数定理、乘法余数定理和和同余定理），以及中国剩余定理和弃九法原理的相关应用。
带余除法是指对整数a和b进行除法运算时，得出商q和余数r的过程。具体来说，假设a和b是整数且b不等于0，那么存在唯一的整数q和r使得a=qb+r且0≤r<|b|。带余除法的性质包括：商和余数的唯一性、加法性和乘法性。
通常情况下，如果a是一个整数，b是另一个整数（b≠0），并且a÷b=q……r，也就是a等于b乘以q再加上r，其中q是商，r是余数。
0≤r＜b；我们称上述为带余除法算式。
当$r=0$时，我们称$a$可以被$b$整除，$q$称为$a$除以$b$的商或完全商。
当r不等于0时，我们说a不能被b整除，q被称为a除以b的商或不完全商。
例如，有一箱苹果，共有100个苹果。这100个苹果可以看作被除数。现在要求按照每箱10个苹果装，那么每箱10个苹果就是除数的角色。经过装箱后共装了10箱，那么这10就是商。最后还剩余了0个苹果，这0个苹果就是余数。
二、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
将帮助内容寻找重新表达。
23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4。
两个数相除，商为4，余数之和为4。
当余数之和大于除数时，所求的余数等于余数之和减去除数再除以 c 的余数。
例如：假设有两个数23和19，它们分别除以5的余数是3和4。则这两个数相加后的42除以5的余数等于3加4的7除以5的余数，即2。
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
举例来说，如果我们要计算23乘以16除以5的余数，我们可以先计算23除以5的余数为3，然后计算16除以5的余数为1，最后将这两个余数相乘得到3。
当余数的和超过除数时，可以通过计算余数的乘积除以除数后的余数来得到所求的余数。
举例来说，假设有两个数23和19，分别除以5得到的余数是3和4。那么，这两个数相乘得到437，再除以5的余数是2。
3.同余定理
如果两个整数a和b除以一个自然数m得到相同的余数，那么称a和b是关于模m同余的。这种关系可以用符号表示为：a≡b ( mod m )，其中左边的式子称为同余式。
a同余于b，模m，可以得到一个非常重要的结论：
两个数a和b除以同一个数m得到的余数相同，可以表示为a ≡ r (mod m)和b ≡ r (mod m)，其中r为余数。根据模运算的性质，a和b的差可以表示为a - b=km，其中k为整数。因此，a和b的差一定能被m整除。
若a≡b ( mod m )，则存在整数k使得a－b＝mk，即m|(a－b)。
三、弃九法原理：
公元前9世纪，印度数学家花拉子米著有一本《花拉子米算术》。当时，他们在计算时通常在铺有沙子的土板上进行，为了避免丢失以前的计算结果，他们经常会检查加法运算是否正确。他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
如果等式右边除以9的余数是3，那么上面这个算式一定是错误的。
这个检验方法正好使用了我们之前讨论过的余数加法定理。即如果等式是正确的，那么左边几个加数除以9得到的余数的和再除以9得到的余数，一定与等式右边的和除以9得到的余数相同。
我们在求一个自然数除以9所得的余数时，通常可以采用“弃九法”，即计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数即可，避免进行繁琐的除法竖式运算。这种方法常常以“一个9一个9”的方式来计算并划去，因而得名“弃九法”。
因此，我们得出了弃九发原理的结论：任何一个整数对9取模，结果都等于它各个数位上的数字之和对9取模的结果。
求一个整数被9除的余数的方法是先计算这个整数各数位上数字之和，然后再求这个和被9除的余数。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用。通过对数字的每一位进行单独的操作，可以确保大量的数学计算都得到正确的结果。
请注意：弃九法只能确定原题是错误的或有可能是正确的，但不能确保一定正确。
举例来说，当我们检验算式9+10=11时，我们发现等式两边分别取10的余数都是0，但是这个算式显然是错误的。
如果一个等式的两边满足弃九法的规律，那么这个等式一定是正确的，这一思路常常有助于解决一些较为复杂的数学问题。
四、中国剩余定理：
1.中国古代趣题：
中国古代数学著作《孙子算经》中提出了这样一个问题：有一些物品，数量未知，当以3个为一组剩余2个，以5个为一组剩余3个，以7个为一组剩余2个。请问这些物品的数量是多少？答案是：23个。
这一类问题被称为“物不知其数”类型，也被称为“韩信点兵”。
相传中国剩余定理源自于韩信点兵的故事。据说汉代大将军韩信被刘邦询问部队人数时，他回答说每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……刘邦听后一头雾水，无法得知实际人数。
让我们思考以下这个问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵的数量是多少？
首先，我们计算5、9、13、17的最小公倍数，结果是9945（注：这是因为5、9、13、17是两两互质的整数，它们的最小公倍数是这四个数的乘积）。然后再加3，得到9948。
孙子算经是一部古代中国数学著作，其作者和确切的著作年代目前无法确定。虽然这个问题的解法是在中国早于西方被发现的，但根据考证，孙子算经的著作年代应该不会晚于晋朝。因此，这个问题的解法被称为中国剩余定理。近代抽象代数学中，中国剩余定理占据着非常重要的地位。
2.核心思想和方法：
针对这类问题，我们可以使用一套看似繁琐但实际上掌握后便可游刃有余的方法。下面以《孙子算经》中的问题为例，来分析这一方法。
有一些物品，不知道有多少个，如果按照三个一组数，会剩下两个；按照五个一组数会剩下三个；按照七个一组数会剩下两个。请问，物品的数量是多少？
这个问题可用数学方式重新表述。给定自然数n，已知n除以3的余数为2，除以5的余数为3，除以7的余数为2。我们需要构造一个数字x，使得x除以3的余数为1，并且x是5和7的公倍数。
以5和7的最小公倍数35为出发点，我们可以发现35除以3余2不满足要求，而70除以3余1符合条件。
我们可以继续寻找符合这两个条件的数字，比如26就是一个符合条件的数字。
满足以7为除数余1和同时为3、5的倍数的数字中，例如45都是符合条件的数字。
