离散型随机变量的数学期望是通过求和计算得出的，而连续型随机变量的数学期望则是通过积分计算得出的。
数学特点是指数学期望是一种线性运算，它是关于积分变量与密度乘积的积分运算（在离散情形是求和）。
对于连续型随机变量 X 的期望值 E(X)=
对于离散型随机变量E(X)，其期望值（数学期望）通常表示为E(X)，它是随机变量X所有可能取值的加权平均。
定理(数学期望的性质)
如果 a X b (a.e)，那么 a E(x) b。（其中 a 和 b 为常数）
a.e是一种常用的数学标记，表示几乎处处成立。
若c为常数，则有E(cX)=c·E(X)。
期望的线性性质，即两个随机变量之和的期望等于这两个随机变量的期望之和。
如果X和Y是相互独立的随机变量，那么它们的期望值的乘积等于它们的期望值的乘积。
根据给定的条件，我们要证明的是(X , Y)的联合分布为f(x , y)，并且X和Y的边缘分布分别为X ~ 和Y ～。
首先，我们知道联合分布的概率密度函数f(x , y)满足以下条件：
1. 非负性条件：f(x , y) ≥ 0，对于所有的x和y；
2. 边际分布条件：对于任意可测函数g(x)和h(y)，有E[g(X)h(Y)]=∫∫g(x)h(y)f(x , y)dxdy；
3. 总和为1：∫∫f(x , y)dxdy=1。
同时，X ~ 的边缘分布为X ~，即满足对于所有的可测函数g(x)，有E[g(X)]=∫g(x)f_X(x)dx，其中f_X(x)是X的概率密度函数。同样的，Y ～ 的边缘分布为Y ～。
根据上述条件，我们可以得出(X , Y)的联合分布为f(x , y)，以及X和Y的边缘分布分别为X ~ 和Y ～。
若X和Y是相互独立的，那么f(x, y)=f(x) * f(y)。
推论(数学期望的性质)
若 X=c (a.e)，则 E(X)=c （其中c为常数）。
若... , 均为常数，则...
New content: 返回给出是该常数，均为常数，则...
E()=
性质6是通过运用归纳法从性质2和性质3推论得出的。
根据概率的相关性质，若事件A、B、C……相互独立，则它们的期望E(A)、E(B)、E(C)……也相互独立，且E(ABCD……)=E(A)E(B)E(C)……
性质7是可以通过对性质4使用归纳法进行推导得到的。
假设每层楼有相同的概率（1/11）有乘客下电梯，E(X)即为电梯在每层楼停下的期望次数。设每层楼停的次数分别为X1, X2, ..., X11，则E(X)=X1 + X2 + ... + X11。对于每一层楼，停的次数为0或1，可以表示为二项分布 B(1, 1/11)，因此E(Xi)=1/11，即电梯在每层楼停的期望次数为1/11。所以E(X)=11 * (1/11)=1。
N个游客中，平均有一半的人能够用导游给的钥匙打开自己的房门。
假设有 N 件产品中有 M 件次品，那么在这批产品中任意取 n 件时，记 X 为取出的次品个数。
求 E( X )
备注：这是一种无放回抽样方法，并且产品数量可能不会很大。
根据上述案例可知，利用适当的概率模型来求解复杂公式的值是一种常见的数学技巧。
一家公司经营某种原料，市场调查显示该原料的市场需求量 X 服从于均匀分布U(300, 500)（单位：吨）。每卖出一吨原料，公司可获利1000元，而每积压一吨则要损失500元。现在要求该公司应该组织多少货源，才能使收益最大化？
数学期望的学习已经告一段落了。总结来看，数学期望的理解需要高水平的基础知识，包括线性代数、微积分和概率论等方面。为了牢固掌握这些知识，需要在实践中多加练习。坚持不懈地学习和应用，相信这些复杂的概念会变得像九九乘法表一样熟练。
这里暂时结束了概率论的学习，接下来将开始学习偏导数和梯度。学完这两个知识点后，数学基础知识也将告一段落。下一个话题即将是Python编程语言的介绍。
