清华大学和北京大学的自主招生题目确实很有创意，我会选择一些适合初中生的题目进行分享。你可以在作者的主页找到过去分享的清华大学和北京大学的自主招生题目。
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01
清华自主招生方程组题
题目如下：
已知实数a,b,c满足
a+bc=b+ac=c+ab=1
这个问题实际上是一个关于求解方程的问题。根据给定的方程或问题，我们可以使用特定的数学方法来求出(a, b, c)有多少组解。
02
求解过程
相邻两式相减，可得到如下方程组：
(a-b)(1-c)=0
(b-c)(1-a)=0
(a-c)(1-b)=0
可以得出结论：a=b或者c=1。我们根据这个结论可以分为两种情况进行讨论：一种是a=b，另一种是c=1且a≠b。在第二种情况中，限制a≠b是为了避免出现重复的解，当然不限制a≠b也可以，如果出现重复的解则去掉即可。此外，我们也可以从第二式或者第三式入手展开讨论，过程类似，结果也是一样的。
下面分情况讨论。
a=b
将a=b代入第二式得到(a-c)(1-a)=0，代入第三式结果一样。
如果 a=1，则可以得出 a=b=1 且 a+b*c=1，因此我们可以求得 c=0。
若a=c，则此时a=b=c且a+bc=1。因此，可得出a+a^2=1，并解得a=(-1±√5)/2。
已知a=b时，等式变为a^2+b^2=c^2。此时可以找到无数组满足条件的(a, b, c)，例如a=3, b=3, c=3√2；a=5, b=5, c=5√2；a=7, b=7, c=7√2等等。因此，在a=b时，(a, b, c)有无数组解。
(1,1,0)
这一组坐标 (-1+√5)/2，(-1+√5)/2，(-1+√5)/2代表了一个具有特殊几何特征的点，在数学和几何学中被称为黄金比例点。
给定向量为（(-1-√5)/2，(-1-√5)/2，(-1-√5)/2）。
如果需要重新表达这个向量，请你提供更多信息。
c=1且a≠b
代入c=1到第二个方程中，可以得到：(b-1)(1-a)=0。（代入第三个方程结果相同）
如果a等于1，那么a也等于c等于1，并且a加上b乘以c等于1，因此可以推出b等于0。
如果b=1，那么b=c=1，且a+bc=1，因此得出a=0。
当c=1且a≠b时，可以得出有两组解 (a, b, c)：(1, 0, 1) 和 (0, 1, 1)。
根据之前的讨论，(a,b,c)有五组解，说明如下：
(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,0)
同类项合并之后，立方根的值为 (-1+√5)/2。
(-1-√5)/2，(-1-√5)/2，(-1-√5)/2 这个向量表示三维空间中的一个特定向量坐标。
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